N-DG Algebras, N-DG Categories, and Related Topics

Chain complex を \(N\)-complex に一般化することは様々な人が考えているが, その際には differential graded algebra (DG algebra) の \(N\)-complex 版も考えたい。

DG algebra は, chain complex の成す monoidal category の monoid object だから, \(N\)-complex の monoidal category が定義できれば, そこでの monoid object として \(N\)-complex での DG algebra の類似が定義できる。

実際, そのアプローチは, Kapranov の [Kap] で提案されている。係数環 \(k\) の中の \(q^{N}=1\) である元 \(q\) を取り, tensor product での微分を

で定義すると, これにより \(N\)-complex の category が monoidal category になることを示している。 Dubois-Violette らの [Dub96; DK96; Dub98; Dub09] で用いられている。 当然 differential graded category (DG category) の \(N\)-complex 版も定義できる。 パラメータ \(q\) に依存するので, \(N\)-dg algebra ではなく \(q\)-dg algebra と呼んだ方が良いと思う。Dubois-Violette は graded \(q\)-differential algebra と呼んでいるが, それだと省略が難しい。

• Kapranov による \(N\)-complex の monoidal category
• \(q\)-dg algebra
• \(q\)-dg category

また, この \(N\)-complex の monoidal category は, Bichon [Bic03] により, ある Hopf algebra 上の comodule の成す category と monoidal category として同値であることが示されている。 これは, chain complex の場合の Pareigis の結果 [Par81] の一般化である。

一方で, Diaz ら [AD07; ACD07] は, 通常の積の微分公式

を使うことを提案している。もちろんこれでは, \(N\)-complex の category は \(\otimes \) で閉じていないが, 全ての \(N\) について \(N\)-complex を集めた cateogry は monoidal category になることに着目している。 彼等は, その category を nilpotent DG module の category と呼んで, \(N\)-complex の category をその subcategory とみなすことを提案している。 もちろん, monoidal subcategory ではないが。

• nilpotent DG module

Kapranov らの方法では, 係数環の中に \(1\) の \(N\) 乗根 \(q\) を選び, それを用いて monoidal structure を定義する。 よって, 係数環 \(k\) の標数が \(p\) のときは, Kapranov らの方法では, \(p\)-dg algebra は定義できない。

一方, その場合, \(k[d]/(d^{p})\) が Hopf algebra になるので, Khovanov [Kho16] の Hopf algebra を用いた方法 が使える。 当然, 彼等は categoryifcation に使うことを考えている。Qi と Sussan [QS16] は, braid 群の Burau representation の \(1\) の \(p\)乗根での categorification を構成している。

Elias と Qi [EQ16] は, その many-objectification である \(p\)-dg category を使っている。

• \(p\)-dg category

References

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[AD07]

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[Kap]

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[QS16]

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