Tate Cohomology

Carlson と Chebolu と Mináč の [CCM11]によると, 群の Tate cohomology は, Tate により [Tat52] で higher dimensional class field theory のために導入された後, Cartan と Eilenberg の本 [CE99] で reformulate されたらしい。

Raksit [Rak] によると, Tate は finite group に対し定義したが, それがまず virtual cohomological dimension が有限の群に対し Farrell [Far78] により拡張された。 コンパクト Lie 群に対する拡張は Greenlees と May [GM95b], そして一般の位相群に対しては Klein [Kle01] により定義された。

Raksit は, この論文は Tate cohomology の定義と基本的な性質の「解説」だと言っているが, 現代的な枠組みを用いているので, 読むのにはかなりの予備知識が必要である。

Tate cohomology のトポロジーに関係した応用としては, 有限群の球面への 作用 (Swanの [Swa59]) などがある。

公理論的な扱いは, Greenlees の [Gre01] で与えられた。Hovey と Palmieri と Strickland の stable homotopy category の枠組みの中での公理化である。

このような公理化が考えられるようになったのは, もちろん, 様々な文脈で Tate cohomology の類似が発見されたからである。例えば, Frobenius algebra に対しては, Nakayama の [Nak57] がある。また Greenlees 自身は, [Gre94] で可換環の場合を考えていて, その Appendix B で, 既に公理化について考察している。

Langer [Lan12] は, 多重ループ空間のホモロジーの Dyer-Lashof operation の類似を考えている。

Albers と Cieliebak と Frauenfelder [ACF16] によると, equivariant Tate cohomology は Swan [Swa60] により有限群の場合が導入され, その後 compact Lie群に対して Adem と Cohen と Dwyer [ACD89], そして Greenlees と May [GM95a] により一般化された。Tene [Ten] による stratifold を用いたものもある。

• equivariant Tate cohomology

Hochschild cohomology の“Tate版”は, 何人かの人により独立に導入されている。

• Tate-Hochschild (co)homology

Hopf algebra の Tate cohomology は Van C. Nguyen の [Ngu13] や [HR24] の§2 に書かれている。

他には, Devoto [Dev96] により導入された Tate \(K\)-theory がある。 Ganter [Gan; Gan13] により調べられている。

• Tate \(K\)-theory

References

[ACD89]

A. Adem, R. L. Cohen, and W. G. Dwyer. “Generalized Tate homology, homotopy fixed points and the transfer”. In: Algebraic topology (Evanston, IL, 1988). Vol. 96. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, pp. 1–13. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/096/1022669.

[ACF16]

Peter Albers, Kai Cieliebak, and Urs Frauenfelder. “Symplectic Tate homology”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 112.1 (2016), pp. 169–205. arXiv: 1405.2303. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdv065.

[CCM11]

Jon F. Carlson, Sunil K. Chebolu, and Ján Mináč. “Finite generation of Tate cohomology”. In: Represent. Theory 15 (2011), pp. 244–257. arXiv: 0804.4246. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-2011-00385-X.

[CE99]

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[Dev96]

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[Far78]

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[Gan]

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[Gan13]

Nora Ganter. “Power operations in orbifold Tate \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 15.1 (2013), pp. 313–342. arXiv: 1301.2754. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n1.a16.

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[Gre94]

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[HR24]

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[Kle01]

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[Lan12]

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[Ngu13]

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[Swa59]

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[Swa60]

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[Tat52]

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[Ten]

Haggai Tene. Some geometric equivariant cohomology theories. arXiv: 1210.7923.