|
Lupini [Lup] によると, ホモロジー代数という分野が登場したばかりのころから, 既に 位相を持つ代数的構造への拡張は考えられてきたようである。
Lupini の論文の冒頭では次の論文が挙げられている:
これらの論文で扱われているのは, locally compact (Abelian) group の場合が多いが, 関数解析で用いられる
topological algebra のホモロジー代数も, もちろん調べられている。
例えば, Runde [Run03] によると, ホモロジー代数における概念を最初に関数解析に導入したのは, Kamowitz [Kam62]
のようである。
より新しいものとしては, Meyer の [Mey10] の §2 で, Preparations として, 関数解析に登場する topological
vector space や bornological vector space に対し, どのようにホモロジー代数の枠組みが使われているかがまとめられている。
関連した話題では, topological ring 上で代数幾何学の類似を行うための, Clausen と Scholze [CS] による
condensed object や Barwick と Haine [BH] の pyknotic object などがある。
References
-
[BH]
-
Clark Barwick and Peter Haine. Pyknotic objects, I. Basic notions.
arXiv: 1904.09966.
-
[Bro71]
-
Lawrence G. Brown. “Extensions of
topological groups”. In: Pacific J. Math. 39 (1971), pp. 71–78. url:
http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102969770.
-
[Cal49]
-
Lorenzo Calabi. “Sur les extensions de groupes topologiques”. In: C.
R. Acad. Sci. Paris 229 (1949), pp. 413–415.
-
[Cal51]
-
Lorenzo Calabi. “Sur les extensions des groupes topologiques”.
In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 32 (1951), pp. 295–370. url:
https://doi.org/10.1007/BF02417964.
-
[CS]
-
Dustin Clausen
and Peter Scholze. Condensed Mathematics and Complex Geometry.
url: https://people.mpim-bonn.mpg.de/scholze/Complex.pdf.
-
[FG71]
-
Ronald O. Fulp and Phillip A. Griffith.
“Extensions of locally compact abelian groups. I, II”. In: Trans. Amer.
Math. Soc. 154 (1971), 341–356, ibid. 154 (1971), 357–363. url:
https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1971-0272870-8.
-
[Ful70]
-
Ronald O. Fulp. “Homological study of purity in locally compact
groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 21 (1970), pp. 502–512.
url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-21.3.502.
-
[Ful72]
-
Ronald O. Fulp. “Splitting locally compact
abelian groups”. In: Michigan Math. J. 19 (1972), pp. 47–55. url:
http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029000797.
-
[Kam62]
-
Herbert Kamowitz. “Cohomology groups of commutative Banach
algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), pp. 352–372. url:
https://doi.org/10.2307/1993683.
-
[Keh79]
-
Esben T. Kehlet. “On extensions of locally compact groups and
unitary groups”. In: Math. Scand. 45.1 (1979), pp. 35–49. url:
https://doi.org/10.7146/math.scand.a-11823.
-
[Lot01]
-
Peter Loth. “Topologically pure extensions”. In: Abelian groups, rings
and modules (Perth, 2000). Vol. 273. Contemp. Math. Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 2001, pp. 191–201. isbn: 0-8218-2751-0. url:
https://doi.org/10.1090/conm/273/04434.
-
[Lot03]
-
Peter Loth. “On pure subgroups of locally compact abelian
groups”. In: Arch. Math. (Basel) 81.3 (2003), pp. 255–257. url:
https://doi.org/10.1007/s00013-003-0823-z.
-
[Lot06]
-
Peter Loth. “Pure extensions of locally compact abelian groups”.
In: Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 116 (2006), pp. 31–40. arXiv:
math/0508263.
-
[Lup]
-
Martino Lupini. Applications of Borel-definable homological algebra
to locally compact groups. arXiv: 2509.25474.
-
[Mac57]
-
George W. Mackey. “Les ensembles boréliens et les extensions des
groupes”. In: J. Math. Pures Appl. (9) 36 (1957), pp. 171–178.
-
[Mey10]
-
Ralf Meyer. “Excision in Hochschild and cyclic homology without
continuous linear sections”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010),
pp. 269–303. arXiv: 0912.3729.
-
[Mos67]
-
Martin Moskowitz. “Homological algebra in locally compact abelian
groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 127 (1967), pp. 361–404. url:
https://doi.org/10.2307/1994421.
-
[Rie66]
-
Marc A. Rieffel. “On
extensions of locally compact groups”. In: Amer. J. Math. 88 (1966),
pp. 871–880. url: https://doi.org/10.2307/2373085.
-
[Run03]
-
Volker Runde. “Abstract harmonic analysis, homological algebra, and
operator spaces”. In: Function spaces
(Edwardsville, IL, 2002). Vol. 328. Contemp. Math. Providence, RI:
Amer. Math. Soc., 2003, pp. 263–274. arXiv: math/0206041. url:
http://dx.doi.org/10.1090/conm/328/05787.
|
