Generalizations and Variations of Abelian Categories

Abelian category は, ホモロジー代数を行なう場として導入されたものであるが, Abelian category ではない圏でホモロジー代数の類似を行ないたいという欲求から, 様々な一般化や変種が考えられている。

一般化を行うということは, Abelian category で要求されている条件 (性質) の内いくつかに注目し, それ以外は忘れるということである。

まず morphism の和と差が取れること, そして coproduct で閉じていることに着目したのが, additive category である。

• additive category

更に, 任意の morphism が kernel と cokernel を持つことを要求すると, preabelian category になる。例えば, Rump の [Rum01] に登場する。

• preabelian category

更に, strict epimorphism の pullback が strict epimorphism になり, strict monomorphism の pushout が strict monomorphism になることを要求すると, quasi-Abelian category になる。一方, epimorphism の pullback が epimorphism になり monomorphism の pushout が monomorphism になることを要求すると, integral category という概念を得る。

• quasi-abelian category
• integral category

Integral category は Rump により [Rum01] で導入されたものである。これらの Abelian category の一般化の関係は, Hassoun, Shah, Wegner の [HSW21] の冒頭の図が分り易い。特に, タイトルにもあるように, 例が与えられているのが良い。

その図の中には, semi-Abelian category も含まれている。

• semi-Abelian category

より一般的なものとして, Quillen の意味の exact category がある。

• Quillen の exact category

Quillen exact category の中でも, 特に Abelian category に近いものとして, Previdi [Pre12] が partially Abelian exact category というものを導入しているが, その論文の内容に間違いがあることが, Bühler の [Bue] で指摘されている。 Previdi は, (AIC) という条件を導入し, (AIC) とその双対を満すことが partially Abelian exact であることと同値であることを主張しているが, Bühler は, その反例を挙げている。そしてその2つの条件は quasi-abelian category と同値であることを示している。 また (AIC) のみをみたすものは, Laumon の [Lau83] で登場する additve category と同値であることが示されている。

これらの一般化では, pre-additivity, つまり Abel 群の category で enrich されていることを仮定しているが, そのことを仮定せずに完全性を定義したものとして, Barr の exact category [Bar71] がある。

• regular category
• Barr の exact category

Barr の exact category は, ある条件をみたす regular category として定義される。 Regular category も, Barr により exact category と同時に [Bar71] で導入されたものである。 Regular category については, Gran の survey [Gra21] がある。

Deitmer [Dei12] は, \(\F _1\)上のホモロジー代数を開発するために, pre-additive とは限らないが, kernel cokernel を持つような圏でのホモロジー代数について考えている。Deitmer は, そのような圏を belian category と呼んでいる。 Dyckerhoff と Kapranov の proto-exact category [DK19] とかなり近い構造のようである。

• belian category
• proto-exact category

この proto-exact category を始めとして, Quillen の exact category 自体, 様々な方向に一般化されている。

• exact category の一般化や変種

Abel 圏の 高次化としては, Nakaoka の [Nak08]がある。M. Dupont の [Dup] もある。 それらの比較が [Nak10] で行なわれている。

別の方向の高次化として, Jasso [Jas16] の \(n\)-Abelian category や \(n\)-exact category がある。Iyama [Iya11] の \(n\)-cluster tilting subcategory の性質を公理化したものである。

• \(n\)-Abelian category

Ebrahimi と Nasr-Ishafami [EN20] は, Abelian category の embedding theorem の \(n\)-Abelian category への一般化を証明している。

また, Ebrahimi と Nasr-Isfahani [EN23] は, \(n\Z \)-cluster tilting subcategory の性質から, \(n\Z \)-Abelian category や \(n\Z \)-exact category の概念を導入している。

• \(n\Z \)-Abelian category

他にも Abel 群を Abelian hypergroup に変えたものを考えた Roberto と Tenório の [AT] もある。 このようなポルトガル語圏やスペイン語圏の人の名前は, どこからどこまでが姓なのか分りづらく, 文献を整理するときに苦労するが, この著者は, それぞれ Roberto と Tenório が姓のようである。

References

[AT]

Kaique Matias de Andrade Roberto and Ana Luiza Tenório. The Category of Hypergroups as a Hyper (quasi)Abelian Category. arXiv: 2205.02362.

[Bar71]

Michael Barr. “Exact categories”. In: Lecture Notes in Mathematics : Exact Categories and Categories of Sheaves. 1971, pp. 1–120. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0058580.

[Bue]

Theo Buehler. Remarks on partially abelian exact categories. arXiv: 2107.11086.

[Dei12]

Anton Deitmar. “Belian categories”. In: Far East J. Math. Sci. (FJMS) 70.1 (2012), pp. 1–46. arXiv: 1105.5290.

[DK19]

Tobias Dyckerhoff and Mikhail Kapranov. Higher Segal spaces. Vol. 2244. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019, pp. xv+218. isbn: 978-3-030-27122-0; 978-3-030-27124-4. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-27124-4.

[Dup]

Mathieu Dupont. Abelian categories in dimension 2. arXiv: 0809.1760.

[EN20]

Ramin Ebrahimi and Alireza Nasr-Isfahani. “Representation of \(n\)-abelian categories in abelian categories”. In: J. Algebra 563 (2020), pp. 352–375. arXiv: 2001.01254. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.07.010.

[EN23]

Ramin Ebrahimi and Alireza Nasr-Isfahani. “\(n\Bbb Z\)-abelian and \(n\Bbb Z\)-exact categories”. In: Q. J. Math. 74.4 (2023), pp. 1545–1570. arXiv: 2202.06711. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haad035.

[Gra21]

Marino Gran. “An introduction to regular categories”. In: New perspectives in algebra, topology and categories. Vol. 1. Coimbra Math. Texts. Springer, Cham, [2021] ©2021, pp. 113–145. arXiv: 2004.08964. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-84319-9_4.

[HSW21]

Souheila Hassoun, Amit Shah, and Sven-Ake Wegner. “Examples and non-examples of integral categories and the admissible intersection property”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 62.3 (2021), pp. 329–354. arXiv: 2005.11309.

[Iya11]

Osamu Iyama. “Cluster tilting for higher Auslander algebras”. In: Adv. Math. 226.1 (2011), pp. 1–61. arXiv: 0809.4897. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.03.004.

[Jas16]

Gustavo Jasso. “\(n\)-abelian and \(n\)-exact categories”. In: Math. Z. 283.3-4 (2016), pp. 703–759. arXiv: 1405.7805. url: https://doi.org/10.1007/s00209-016-1619-8.

[Lau83]

G. Laumon. “Sur la catégorie dérivée des \(\cD \)-modules filtrés”. In: Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982). Vol. 1016. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1983, pp. 151–237. url: https://doi.org/10.1007/BFb0099964.

[Nak08]

Hiroyuki Nakaoka. “Cohomology theory in \(2\)-categories”. In: Theory Appl. Categ. 20 (2008), No. 16, 543–604.

[Nak10]

Hiroyuki Nakaoka. “Comparison of the definitions of abelian \(2\)-categories”. In: Tsukuba J. Math. 34.2 (2010), pp. 173–182. arXiv: 0904.0078.

[Pre12]

Luigi Previdi. “Sato Grassmannians for generalized Tate spaces”. In: Tohoku Math. J. (2) 64.4 (2012), pp. 489–538. arXiv: 1002.4863. url: http://dx.doi.org/10.2748/tmj/1356038976.

[Rum01]

Wolfgang Rump. “Almost abelian categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 42.3 (2001), pp. 163–225.