Group Actions on Categories

群 \(G\) の圏 \(C\) の object \(X\) への作用は, 群の準同型 \[ G \longrightarrow \mathrm {Aut}_{C}(X) \] である。\(G\) を object が一つの groupoid とみなして, functor \[ G \longrightarrow C \] と思ってもよい。

では, \(X\) が圏の圏での object だったらどうだろうか。もちろん上の strict な作用の定義は使えるが, 普通はもっと弱い意味の作用が必要になる。 つまり up to isomorphism で作用になっているものである。圏の二つの object が isomorphic であるときには, 普通はそれらは同一視して考えるからである。

つまり, 圏の圏は bicategory になるので, lax functor や colax (oplax) functor として考えないといけないわけである。

Khovanov と Thomas の [KT07]によると, 群の圏への作用を最初に考えたのは, Deligne [Del97] らしい。そして “genuine action” と “weak action” についても考えている。

• 群の圏への genuine action
• 群の圏への weak action

群の群への weak action も考えられるが, これは Maier と Nikolaus と Schweigert の [MNS] で, equivariant extended topological quantum field theory を構成するのに使われている。

位数2の巡回群の作用は involution であるが, involution を持つ category は様々な場面で登場する。 そのため, supercategory や involutive category などのように, 様々な名前で呼ばれている。

• supercategory or involutive category

Elias と Williamson [EW17] は, 生成元と関係式で与えられている群の作用を定めるときに, 各生成元の作用を決めてそれらが関係式をみたす, という手順で行なう場合に combinatorial approach と呼んでいる。 一方, automorphism group の部分群 の作用のようなものを holistic approach と呼んでいる。

Deligne の [Del97] は, 群や monoid が生成元と関係式で与えられているとき, coherence condition を少ない情報で記述するにはどうすればよいか, という問題を braid群の場合に考えたものである。 それを一般の monoid で考えるために, Gaussent と Guiraud と Malbos [GGM15] は monoid を 2-category とみなし, 2-category の category の model structure で cofibrant replacement を取ることを提案している。

Khovanov や Seidel らによる研究に現れることから分かるように, braid群の圏への作用は, homological mirror symmetry などに関係が深い。また Klein型特異点の上の coherent sheaf の derived category にも現れる。

Mapping class group の表現の categorification として, mapping class group のある algebra の derived category への作用を構成しているのは, Lipshitz と Ozsváth と Thurston [LOT13] である。Siegel [Sie] は, その構成を純粋に combinatorial な議論だけで行なっている。

• braid群の圏への作用

関連したものとして, Coxeter group の作用がある。Elias と Williamson の [EW17] など。 Braid群以外の群の作用も, 数理物理で使われている。 Lazaroiu の [Laz] などである。そこで使われている skew category は, Cibils と Marcos の [CM06] で定義されたものである。それは, 群 \(G\) が \(k\)- linear category \(\bm {C}\) に作用しているときに, そのquotient \(\bm {C}/G\) に対応する構成である。

• quotient of category by group action

群 \(G\) の圏への作用があるときに, 新しい圏を作る方法として, Drinfel\('\)d ら [Dri+10] は equivariantization という構成を導入した。

• equivariantization

有限群 \(G\) が位相空間に free に作用しているときは projection \(X \to X/G\) は被覆空間になるから, category への群の作用に対しても対応する covering の概念を考えるのは自然である。

• small category や linear category の covering

群作用を考えない covering の定義は, 例えば, Bridson と Haefliger の本 [BH99] にある。

群の category への作用に対して Mackey functor の類似を定義することもできる。Burciu の[Bur] で導入され, categorical Mackey functor と呼ばれている。

最初に述べたように, small category 全体は bicategoryを成すため, 群ではなく \(2\)-group の作用を考えるのも意味がある。 そのような研究としては, Morton と Picken の [MP] がある。

• \(2\)-group の small category への作用

また, 群の bicategory への作用も考えられている。Bernaschini, Galindo, Mombelli の [BGM]など。

• 群の bicategory への作用

References

[BGM]

Eugenia Bernaschini, César Galindo, and Martín Mombelli. Group actions on 2-categories. arXiv: 1702.02627.

[BH99]

Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.

[Bur]

Sebastian Burciu. Categorical Green functors arising from group actions on categories. arXiv: 1407.3994.

[CM06]

Claude Cibils and Eduardo N. Marcos. “Skew category, Galois covering and smash product of a \(k\)-category”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.1 (2006), 39–50 (electronic). arXiv: math/0312214. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07955-4.

[Del97]

P. Deligne. “Action du groupe des tresses sur une catégorie”. In: Invent. Math. 128.1 (1997), pp. 159–175. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050138.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906.0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[EW17]

Ben Elias and Geordie Williamson. “Diagrammatics for Coxeter groups and their braid groups”. In: Quantum Topol. 8.3 (2017), pp. 413–457. arXiv: 1405.4928. url: https://doi.org/10.4171/QT/94.

[GGM15]

Stéphane Gaussent, Yves Guiraud, and Philippe Malbos. “Coherent presentations of Artin monoids”. In: Compos. Math. 151.5 (2015), pp. 957–998. arXiv: 1203.5358. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X14007842.

[KT07]

Mikhail Khovanov and Richard Thomas. “Braid cobordisms, triangulated categories, and flag varieties”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 19–94. arXiv: math/0609335. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127331.

[Laz]

C. I. Lazaroiu. Graded D-branes and skew-categories. arXiv: hep-th/0612041.

[LOT13]

Robert Lipshitz, Peter S. Ozsváth, and Dylan P. Thurston. “A faithful linear-categorical action of the mapping class group of a surface with boundary”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 15.4 (2013), pp. 1279–1307. arXiv: 1012.1032. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/392.

[MNS]

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus, and Christoph Schweigert. Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory. arXiv: 1103.2963.

[MP]

Jeffrey C. Morton and Roger Picken. Transformation Double Categories Associated to 2-Group Actions. arXiv: 1401.0149.

[Sie]

Kyler Siegel. A Geometric Proof of a Faithful Linear-Categorical Surface Mapping Class Group Action. arXiv: 1108.3676.