Homological Stability

空間列 \[ X_{0} \rarrow {} X_{1} \rarrow {} X_{2} \rarrow {} \cdots \] と ホモロジー \(h_{*}(-)\) が与えられたとき, できることはいくつかある。代数的トポロジーでは, spectral sequence を作り \(\hocolim _{n} X_{n}\) のホモロジーを求めることが良く行なわれる。

最近では, persistence を考えることが多いかもしれない。

実際には, 各 \(n\in \Z \) に対し得られる加群の列 \[ h_{n}(X_{0}) \rarrow {} h_{n}(X_{1}) \rarrow {} h_{n}(X_{2}) \rarrow {} \cdots \] で, 十分大きな \(N\) があり \(k\ge N\) に対しては, \(h_{n}(X_{k})\to h_{n}(X_{k+1})\) が同型になっていることが多い。そのようなことがおきるとき, この列は homological stability をみたすという。 もちろん群の列や代数の列など, ホモロジーが定義できるものなら何でも homological stability を考えることができる。

解説として, Wahl の [Wah23] があるので, まずはこれを見てみると良いと思う。

有名な例としては, 次のようなものがある。

• 対称群のホモロジー ([Nak60])
• 組紐群のホモロジー ([Arn70])
• 一般線形群のホモロジー ( Quillen Notebooks の1971年8月8日)
• mapping class group のホモロジー ([Har85],[Wah08])
• 自由群の automoprhism group のホモロジー ([Hat95])

その後も, 新しい例がどんどん発見されている。

References

[Arn70]

Vladimir I. Arnold. “On some topological invariants of algebraic functions”. In: Trans. Moscow Math. Soc. 21 (1970), pp. 27–46.

[Har85]

John L. Harer. “Stability of the homology of the mapping class groups of orientable surfaces”. In: Ann. of Math. (2) 121.2 (1985), pp. 215–249. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971172.

[Hat95]

Allen Hatcher. “Homological stability for automorphism groups of free groups”. In: Comment. Math. Helv. 70.1 (1995), pp. 39–62. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02565999.

[Nak60]

Minoru Nakaoka. “Decomposition theorem for homology groups of symmetric groups”. In: Ann. of Math. (2) 71 (1960), pp. 16–42. url: https://doi.org/10.2307/1969878.

[Wah08]

Nathalie Wahl. “Homological stability for the mapping class groups of non-orientable surfaces”. In: Invent. Math. 171.2 (2008), pp. 389–424. arXiv: math/0601310. url: https://doi.org/10.1007/s00222-007-0085-7.

[Wah23]

Nathalie Wahl. “Homological stability: a tool for computations”. In: ICM—International Congress of Mathematicians. Vol. 4. Sections 5–8. EMS Press, Berlin, [2023] ©2023, pp. 2904–2927. arXiv: 2203.07767.