トーラスの作用を持つ多様体

トーラスは, \(S^{1}=U(1)\) のいくつかの直積として定義されるが, 代数幾何では, \(S^{1}\) ではなく \(\bbC ^{\times }=\bbC \setminus \{0\}=\GL _{1}(\bbC )\) の直積をトーラスと言ったりする。 いづれも, 複素数の積により可換な位相群になる。

トーラスをそのように位相群とみなしたとき, その作用を持つ 多様体と 組み合せ論の関係は, まず 代数幾何で発見された。その後, そのトポロジー版が Davis と Januszkiewicz の仕事 [DJ91] などをきっかけに, 大きく発展した。 この分野は, 可換環論や 組み合せ論, そして代数的トポロジーなど, 様々な分野に関連していて面白い。Panov と Ray が [PR08] で homotopy colimit の有用性に着目し, ホモトピー論的な視点, つまり モデル圏の言葉を用いて, それまでに知られている結果を見直していることからも分かるように, ホモトピー論の道具も有用である。

解説としては, Buchstaber と Panov の [BP00] や [BP02] がある。彼等は, 別の本 [BPa; BPb] を書き始めたようである。Panov は [Pan08] という解説も書いている。

まずは, 代数幾何の toric variety の類似の定義であるが, 定義は [DJ91] で与えられた。ただし, そこで使われた toric manifold という言葉は, 代数幾何で既に nonsingular toric variety という意味で使われていたので, 別の用語が提案されている。Buchstaber と Panov は quasitoric manifold と言っている。 Nonsingular toric variety は quasitoric manifold になるとは限らないため, Masuda ら [Mas99; HM03] は, その両方を含んだ概念として torus manifold を提案している。Davis と Januszkiewicz は, 同時に「実数版」である small cover, つまり \(S^1\) を \(\Z /2\Z =O(1)\) に変えたものも考えている。他には, Buchstaber と Terzić [BT16] が提案している \((2n,k)\)-manifold という一般化もある。 \(T^k=(S^{1})^{k}\) の作用を持つ \(2n\)次元多様体で moment map の類似を持つものである。

• quasitoric manifold
• small cover
• torus manifold
• \((2n,k)\)-manifold

Masuda と Panov は, [MP06] で torus manifold の cohomology を調べ, 組み合せ論的な応用を行なっている。 \(K\)-theory については, Sankaran と Uma が調べている。 [SU07; Uma08; San] など。

Quasitoric orbifold を考えている人達 [PS10] もいる。

• quasitoric orbifold

これらは, 代数幾何での \((\bbC ^{\times })^n\) の作用を \((S^1)^n\) の作用に変えたものであるが, \((\bbC ^{\times })^n\) の作用のままで topological analogue を考えたものとして, Ishida, Fukukawa, Masuda [IFM13] の topological toric manifold がある。

• topological toric manifold

もちろん, この分野の魁となった Davis と Januszkiewicz の仕事 [DJ91] は重要である。彼等は, \(2n\)次元 quasitoric manifold \(M\) に associate した simple polytope \(P\) と characteristic function \(\chi \) から, 元の多様体が \(T^n\times P\) の商空間として, torus の作用も込めて再構成できることを示した。 枡田氏によると, この構成自体には名前が付いていないそうである。 類似の構成としては, moment-angle complex がある。

• moment-angle complex

Quasitoric manifold で 複素コボルディズム群の元を表現することを考えているのは, Buchstaber と Ray [BR01] である。当然, 組み合せ論的なデータが重要である。

Geometric invariant theory との関係については, Panov の [Pan06] がある。

Symplectic manifold で Hamiltonian torus action を持つものは, Delzant polytope と対応している [Del88]。 グラフからできる凸多面体である graph associahedron が Delzant polytope であることに着目し, それに対応する toric symplectic manifold を調べているのは, Choi と Park [CP15] である。

• toric symplectic manifold

トーラスの作用を持つ多様体の equivariant cohomology については, Goresky と Kottwitz と MacPherson の結果 [GKM98] が有名である。ある条件をみたすとき (GKM-manifold) その equivariant cohomology が, ラベルのついた graph (GKM-graph) から combinatorial に定義される chain complex のコホモロジーと同型になる, という結果である。

• GKM-manifold
• GKM-graph とそのコホモロジー

Guillemin と Sabatini と Zara [GSZ12] は, total space と base space が 共に GKM manifold である fiber bundle を GKM-graph で調べることを考えている。

自然な問題として, GKM-manifold と torus manifold の関係がある。 それについては, Maeda と Masuda と Panov の [MMP07] で調べられている。そこでは, GKM-graph の類似の torus graph とそのコホモロジーが定義されている。

• torus graph とそのコホモロジー

彼らは, torus graph に対し simplicial poset を対応させその性質を調べていて興味深い。

Masuda は, [Mas08] で quasitoric manifold の equivariant homeomorphism type が torus の 分類空間のコホモロジー環上の algebra としての equivariant cohomology で決定されることを示している。メインは smooth toric variety の場合のようであるが。

Toric variety に対しては, その quaternionic analogue である hypertoric variety が定義されている。 それに対応した hypertoric manifold という概念も定義できそうである。

References

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