Incidence Geometry

Euclid 流の古典的な幾何学では, 点や直線などの直接の定義は与えられない。「ある点がある直線上にある」 などといった, それらの間の関係が決っているだけである。 つまり集合 \(P\) と \(L\) が与えられ, \(P\) の元のことを「点」, \(L\) の元のことを「直線」と呼ぶ。そして \(x\in P\) と \(\ell \in L\) に対し, 「\(\ell \) が \(x\) を通る」ということを表す関係 \(x*\ell \) が定まっているだけである。

これを一般化したものを incidence geometry と呼ぶ。どうやら Tits [Tit57] が考えたもののようである。

いくつか本もでていて, Buekenhout と Cohen の [BC13], Pasini の [Pas94], Buekenhout の handbook [Bue95] などがある。

Fomin と Pylyavskyy [FP] は, 点と直線や (超) 平面などの アフィン空間の関係に関する incidence geometry を linear incidence geometry と呼んでいるが, その歴史的側面については, Baltus の本 [Bal20], Faghihi の thesis [Fag21], Marchisotto の論文 [Mar02], Pambuccian と Schacht の [PS19], van der Waerden の本 [Wae61] を参照している。

有名なのは Pappus の定理とか Desargues の定理などであるが, Fomin と Pylyavskyy は, それらの古典的な定理を曲面の四角形による分割, すなわち quadrangulation により統一的に扱えることを示していて, 興味深い。

Tits は, semisimple algebraic group から “geometry” を構成することを考えたのであるが, Carr と Garibaldi [GC06] に書かれているように, 現在では, algebraic group からは incidence geometry ではなく building を作る方が一般的なようである。

• building

例としては, 以下のようなものがある。

• projective geometry
• Fano plane
• partial linear space や linear space [Pan11]
• hypertope [FLW16]

Fano plane は \(\F _{2}\) 上の射影平面であるが, 良く知られているように Freudenthal [Fre51; Fre85] により 八元数 の構成に用いられている。 これについては Rausch de Traubenberg と Slupinski の [RS22] を見るとよい。

Hypertope は abstract polytope の枠組みの1つである。

平面曲線の arrangement, 特に曲線達が transversal に交わっている場合は, それらの交点がどの曲線に含まれるかという incidence の関係が重要である。 Pokora と Römer の [PR22] は, Levi graph という incidence の関係から定義される bipartite graph を用いて平面曲線の arrangement を調べている。

• Levi graph

References

[Bal20]

Christopher Baltus. Collineations and conic sections—an introduction to projective geometry in its history. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. ix+187. isbn: 978-3-030-46286-4; 978-3-030-46287-1. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-46287-1.

[BC13]

Francis Buekenhout and Arjeh M. Cohen. Diagram geometry. Vol. 57. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Related to classical groups and buildings. Springer, Heidelberg, 2013, pp. xiv+592. isbn: 978-3-642-34452-7; 978-3-642-34453-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-34453-4.

[Bue95]

F. Buekenhout, ed. Handbook of incidence geometry. Buildings and foundations. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. xii+1420. isbn: 0-444-88355-X.

[Fag21]

Sima Faghihi. “A History of Configurations from Möbius to Coxeter”. PhD thesis. Johannes Gutenberg-Universität in Mainz, Feb. 2021. url: https://openscience.ub.uni-mainz.de/handle/20.500.12030/5668.

[FLW16]

Maria Elisa Fernandes, Dimitri Leemans, and Asia Ivić Weiss. “Highly symmetric hypertopes”. In: Aequationes Math. 90.5 (2016), pp. 1045–1067. arXiv: 1604.03162. url: https://doi.org/10.1007/s00010-016-0431-1.

[FP]

Sergey Fomin and Pavlo Pylyavskyy. Incidences and tilings. arXiv: 2305.07728.

[Fre51]

Hans Freudenthal. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie. Rijksuniversiteit Utrecht, Mathematisch Instituut, Utrecht, 1951, pp. i+49.

[Fre85]

Hans Freudenthal. “Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie”. In: Geom. Dedicata 19.1 (1985), pp. 7–63. url: https://doi.org/10.1007/BF00233101.

[GC06]

Skip Garibaldi and Michael Carr. “Geometries, the principle of duality, and algebraic groups”. In: Expo. Math. 24.3 (2006), pp. 195–234. arXiv: math/0503201. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2005.11.001.

[Mar02]

Elena Anne Marchisotto. “The theorem of Pappus: a bridge between algebra and geometry”. In: Amer. Math. Monthly 109.6 (2002), pp. 497–516. url: https://doi.org/10.2307/2695440.

[Pan11]

Mark Pankov. “Metric characterization of apartments in dual polar spaces”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.4 (2011), pp. 1313–1321. arXiv: 1009.1997. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2010.12.009.

[Pas94]

Antonio Pasini. Diagram geometries. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994, pp. viii+488. isbn: 0-19-853497-3.

[PR22]

Piotr Pokora and Tim Römer. “Algebraic properties of Levi graphs associated with curve arrangements”. In: Res. Math. Sci. 9.2 (2022), Paper No. 30, 17. arXiv: 2201.11788. url: https://doi.org/10.1007/s40687-022-00325-3.

[PS19]

Victor Pambuccian and Celia Schacht. “The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues”. In: Geometry in history. Springer, Cham, 2019, pp. 355–399.

[RS22]

Michel Rausch de Traubenberg and Marcus Slupinski. “Incidence geometry of the Fano plane and Freudenthal’s ansatz for the construction of octonions and split octonions”. In: Innov. Incidence Geom. 19.4 (2022), pp. 165–181. arXiv: 2203.03261. url: https://doi.org/10.2140/iig.2022.19.165.

[Tit57]

J. Tits. “Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes”. In: Colloque d’algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956. Centre Belge de Recherches Mathématiques. Établissements Ceuterick, Louvain, 1957, pp. 261–289.

[Wae61]

B. L. van der Waerden. Science awakening. 2nd ed, English translation by Arnold Dresden, with additions of the author. Oxford University Press, New York, 1961, 306 pp. (28 plates).