Complements of Arrangements

Euclid空間内に affine subspace がいくつかあるとき, その arrangement (配置)をトポロジーの道具で調べるためには, affine subspace 達の complement を取るのが一つのアイデアである。

例えば \(\bbC ^n\) の中での

という複素超平面達 \((1\le i< j\le n)\) の arrangement ( braid arrangement という) の complement は \(\bbC \) の中の \(n\) 個の点の configuration space であり, 非常に重要な空間である。

一般に複素超平面配置, 特に実超平面配置の複素化になっている場合には, arrangement の 組み合せ論と complement のホモトピー型の関係はよく調べられている。Macinic の [Măc09] は簡潔にまとまった survey である。

中心的な問題は, intersection lattice により記述される arrangement の組み合せ論的な構造と complement のトポロジー (ホモトピー型) がどの程度関係しているか, である。これについて, 肯定的な方向としては Orlik と Solomon の有名な結果 [OS80] がある。つまり, コホモロジー環は intersection lattice で記述できるのである。否定的な方向では, Rybnikov の例 [Ryb11] がある。つまり intersection lattice が同型であるが, complement の 基本群が同型ではない, よってホモトピー同値でない line arrangement の例である。

Braid arrangement の複素化の complement, つまり \(\bbC \) 上の互いの異なる点の configuration space が \(K(\pi ,1)\) であるというのは古くから知られた事実であるが, 複素超平面配置の complement が \(K(\pi ,1)\) かどうかというのは, 有名な問題である。

• 複素 hyperplane arrangement の \(K(\pi ,1)\) 問題

\(K(\pi ,1)\) 問題の他には, Yoshinaga の [Yos12] に書いてあるように, 複素超平面配置の補集合のホモトピー型の持つ性質として, minimal であるというのは最も興味深いものの一つである。

• hyperplane arrangement や subspace arrangement の complement の minimality

それとも関連して, complement のホモトピー型を考える際には, combinatorial model を作りそれを調べることも有用な手法である。

• complement の combinatorial model

Configuration space に対しては, 様々な compactification が考えられているが, subspace arrangement の complement の compacitification としては, De Concini と Procesi の wonderful model [DP95] がある。様々な compactification の survey として Denham による [Den14] がある。

• De Concini と Procesi の wonderful model

もちろん, 基本群や (コ)ホモロジーを調べることも, 重要である。\(K(\pi ,1)\) でない場合は, 高次ホモトピー群も調べる必要がある。

• 基本群と高次ホモトピー群
• (コ)ホモロジー

ホモトピー型ではなく, diffeomorphism type や topological type を調べるのも自然な問題だと思う。例えば, Jiang と Yau の仕事 [JY93b; JY93a; JY94; JY98] がある。 これまでに知られていることについては, Williams の [Wil] の Introduction を読むのが手っ取り早い。

References

[Den14]

Graham Denham. “Toric and tropical compactifications of hyperplane complements”. In: Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 23.2 (2014), pp. 297–333. arXiv: 1306.3519. url: https://doi.org/10.5802/afst.1408.

[DP95]

C. De Concini and C. Procesi. “Wonderful models of subspace arrangements”. In: Selecta Math. (N.S.) 1.3 (1995), pp. 459–494. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01589496.

[JY93a]

Tan Jiang and Stephen S.-T. Yau. “Topological and differentiable structures of the complement of an arrangement of hyperplanes”. In: Differential geometry: geometry in mathematical physics and related topics (Los Angeles, CA, 1990). Vol. 54. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, pp. 337–357.

[JY93b]

Tan Jiang and Stephen S.-T. Yau. “Topological invariance of intersection lattices of arrangements in \(\mathbf {C}\mathrm {P}^2\)”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29.1 (1993), pp. 88–93. arXiv: math/9307228. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1993-00409-9.

[JY94]

Tan Jiang and Stephen S.-T. Yau. “Diffeomorphic types of the complements of arrangements of hyperplanes”. In: Compositio Math. 92.2 (1994), pp. 133–155. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1994__92_2_133_0.

[JY98]

Tan Jiang and Stephen S.-T. Yau. “Intersection lattices and topological structures of complements of arrangements in \(\mathbf {C}\mathrm {P}^2\)”. In: Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 26.2 (1998), pp. 357–381. url: http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1998_4_26_2_357_0.

[Măc09]

Anca Daniela Măcinic. “A survey of combinatorial aspects in the topology of complex hyperplane arrangements”. In: Combinatorial aspects of commutative algebra. Vol. 502. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, pp. 113–128. arXiv: 0811.2156. url: https://doi.org/10.1090/conm/502/09859.

[OS80]

Peter Orlik and Louis Solomon. “Combinatorics and topology of complements of hyperplanes”. In: Invent. Math. 56.2 (1980), pp. 167–189. url: https://doi.org/10.1007/BF01392549.

[Ryb11]

G. L. Rybnikov. “On the fundamental group of the complement of a complex hyperplane arrangement”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 45.2 (2011), pp. 71–85. arXiv: math/9805056. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10688-011-0015-8.

[Wil]

Kristopher Williams. On the homotopy type of the complement of an arrangement that is a 2-generic section of the parallel connection of an arrangement and a pencil of lines. arXiv: 1507.04706.

[Yos12]

Masahiko Yoshinaga. “Minimality of hyperplane arrangements and basis of local system cohomology”. In: Singularities in geometry and topology. Vol. 20. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2012, pp. 345–362. arXiv: 1002.2038. url: https://doi.org/10.4171/118-1/16.